Matriks Diagonal, Segitiga, dan Simetris

03 Aug 2021

56 min.

Matriks Diagonal, Segitiga, dan SimetrisSunting

Matriks DiagonalSunting

Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh:

${\begin{bmatrix}1&0\\0&-5\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&0\\0&-5\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-5&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-5&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}$

secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai

${\begin{bmatrix}d_{1}&0&\cdots &0\\0&d_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &d_{n}\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}d_{1}&0&\cdots &0\\0&d_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &d_{n}\\\end{bmatrix}}$

Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut: $D^{-1}$ $D^{-1}$ = ${\begin{bmatrix}1/d_{1}&0&\cdots &0\\0&1/d_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &1/d_{n}\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1/d_{1}&0&\cdots &0\\0&1/d_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &1/d_{n}\\\end{bmatrix}}$

$DD^{-1}=D^{-1}D=I$ $DD^{-1}=D^{-1}D=I$

jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka

$D^{k}$ $D^{k}$ = ${\begin{bmatrix}d_{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&d_{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &d_{n}^{k}\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}d_{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&d_{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &d_{n}^{k}\\\end{bmatrix}}$

Contoh: A= ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-3&0\\0&0&2\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-3&0\\0&0&2\\\end{bmatrix}}$

maka $A^{5}$ $A^{5}$ = ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-243&0\\0&0&32\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-243&0\\0&0&32\\\end{bmatrix}}$

Matriks SegitigaSunting

Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi dengan elemen-elemen yang berada di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi dengan elemen-elemen yang berada di bawah garis diagonal utama nol.

Matriks segitiga atas

{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\\\end{bmatrix}}

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\\\end{bmatrix}}$

Matriks segitiga bawah

{\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\a_{21}&a_{22}&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{bmatrix}}

${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\a_{21}&a_{22}&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{bmatrix}}$

Teorema

Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas dan transpos pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Matriks segitiga bisa diinvers jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
Invers pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah dan invers pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.

Contoh:

Matriks segitiga yang bisa diinvers A = ${\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&2&4\\0&0&5\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&2&4\\0&0&5\\\end{bmatrix}}$

Inversnya adalah $A^{-1}$ $A^{-1}$ = ${\begin{bmatrix}1&-3/2&7/5\\0&1/2&-2/5\\0&0&1/5\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&-3/2&7/5\\0&1/2&-2/5\\0&0&1/5\\\end{bmatrix}}$

Matriks yang tidak bisa diinvers

B = ${\begin{bmatrix}3&-2&2\\0&0&-1\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}3&-2&2\\0&0&-1\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

Matriks SimetrisSunting

Matriks kotak A disebut simetris jika $A=A^{T}$ $A=A^{T}$

Contoh matriks simetris ${\begin{bmatrix}7&-3\\-3&5\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}7&-3\\-3&5\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&4&5\\4&-3&0\\5&0&7\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&4&5\\4&-3&0\\5&0&7\\\end{bmatrix}}$

Teorema

Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka

$A^{T}$ $A^{T}$ adalah simetris A B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}=BA$ $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}=BA$

Jika A adalah matriks simetris yang bisa di invers, maka $A^{-1}$ $A^{-1}$ adalah matriks simetris.

Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa $A=A^{T}$ $A=A^{T}$ Matriks Diagonal, Segitiga, dan SimetrisSunting

Matriks DiagonalSunting

Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh:

${\begin{bmatrix}1&0\\0&-5\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&0\\0&-5\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-5&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-5&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}$

secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai

$DD^{-1}=D^{-1}D=I$ $DD^{-1}=D^{-1}D=I$

jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka

Contoh: A= ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-3&0\\0&0&2\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-3&0\\0&0&2\\\end{bmatrix}}$

maka $A^{5}$ $A^{5}$ = ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-243&0\\0&0&32\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-243&0\\0&0&32\\\end{bmatrix}}$

Matriks SegitigaSunting

Matriks segitiga atas

{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\\\end{bmatrix}}

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\\\end{bmatrix}}$

Matriks segitiga bawah

{\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\a_{21}&a_{22}&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{bmatrix}}

${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\a_{21}&a_{22}&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{bmatrix}}$

Teorema

Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas dan transpos pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Matriks segitiga bisa diinvers jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
Invers pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah dan invers pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.

Contoh:

Matriks segitiga yang bisa diinvers A = ${\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&2&4\\0&0&5\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&2&4\\0&0&5\\\end{bmatrix}}$

Inversnya adalah $A^{-1}$ $A^{-1}$ = ${\begin{bmatrix}1&-3/2&7/5\\0&1/2&-2/5\\0&0&1/5\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&-3/2&7/5\\0&1/2&-2/5\\0&0&1/5\\\end{bmatrix}}$

Matriks yang tidak bisa diinvers

B = ${\begin{bmatrix}3&-2&2\\0&0&-1\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}3&-2&2\\0&0&-1\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

Matriks SimetrisSunting

Matriks kotak A disebut simetris jika $A=A^{T}$ $A=A^{T}$

Contoh matriks simetris ${\begin{bmatrix}7&-3\\-3&5\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}7&-3\\-3&5\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&4&5\\4&-3&0\\5&0&7\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&4&5\\4&-3&0\\5&0&7\\\end{bmatrix}}$

Teorema

Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka

$A^{T}$ $A^{T}$ adalah simetris A B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}=BA$ $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}=BA$

Jika A adalah matriks simetris yang bisa di invers, maka $A^{-1}$ $A^{-1}$ adalah matriks simetris.

Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa $A=A^{T}$ $A=A^{T}$ ${myData}

`; const myWorker = new Worker("https://kbm.id/js/worker.js"); myWorker.onmessage = (event) => (document.getElementById("render-text-chapter").innerHTML = event.data); myWorker.postMessage(myData); -->

Komentar

Matriks Diagonal, Segitiga, dan Simetris

Matriks Diagonal, Segitiga, dan SimetrisSunting

Matriks DiagonalSunting

Matriks SegitigaSunting

Matriks SimetrisSunting

Matriks DiagonalSunting

Matriks SegitigaSunting

Matriks SimetrisSunting

Komentar

Bab